Нестандартный анализ и фрактал числовых систем - комплементарная медицина
Приложение 5
НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ И ФРАКТАЛ ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ
В настоящей монографии постоянно используются, с одной стороны, идея фрактальной организации пространства-времени, с другой — рейхенбаховский вариант соотношения неопределенностей Гейзенберга, основанный на понятиях нестандартного анализа. Многие математические аспекты таких подходов до сих пор рассматривались как интуитивно очевидные. Однако на самом деле все не столь просто. Ведь в математике на сегодняшний день отсутствуют как вполне удовлетворительное определение фрактала, так и развитое представление о топологической природе нестандартного анализа. И, как мы попытаемся показать ниже, наиболее перспективной выглядит попытка комплексного, совместного подхода к выяснению этих двух вопросов.
Вне собственно математики, как известно [358, 427], фрактал обычно определяют как пространственную структуру, которая остается самоподобной при изменении масштаба. Привлекательность такого определения состоит в том, что оно прямо указывает на структурно-алгоритмический инвариант межуровневого перехода — отношение подобия. В то же время в исходной форме это определение оказывается явно недостаточным даже для многих детерминированных фракталов, не говоря уже о стохастических. При таком подходе за пределами рассмотрения оказываются обширные классы как чисто математических конструкций, так и природных объектов и процессов, к которым в действительности можно и даже необходимо применить именно фрактальное описание.
Вместе с тем в некоторых собственно математических работах по теории фракталов [358] последние определяются как объекты, для которых размерность Хаусдорфа — Безиковича не совпадает с топологической размерностью dim. Это определение, несомненно, более строго и обширно, чем первое. Однако и оно не лишено принципиальных недостатков. Во-первых, оно не конструктивно, т.е. не содержит явного указания на фундаментальнейшее свойство фрактальных структур — их иерархичность. Тем более отсутствуют в нем какие-либо указания на существование некоторого структурноалгоритмического инварианта. Во-вторых, оно слишком обширно. В самом деле, несовпадение указанных размерностей на одном из уровней изучаемой структуры отнюдь не может рассматриваться как признак фрактальности всей структуры в целом. В-третьих, как отмечено [358], вычислить размерность Хаусдорфа — Безиковича для конкретной конструкции — дело крайне непростое, нередко требующее многолетних исследований.
Как же помочь делу? Вернемся к первому определению. Легко видеть, что оно основано на связи трех ключевых понятий: &ldquo-пространство&rdquo-, &ldquo-отношение подобия&rdquo- и &ldquo-масштаб&rdquo-. В свою очередь, в этой тройке центральное место занимает &ldquo-отношение подобия&rdquo-. Вполне логично попытаться получить удовлетворительное определение фрактала, варьируя определения указанных выше ключевых понятий. Например, центральное понятие &ldquo-отношение подобия&rdquo- можно в наиболее общем виде определить как некоторый структурноалгоритмический инвариант. Далее, масштаб (масштабный уровень структуры) логично представить следующим образом.
Отметим для начала, что масштабные уровни любой структуры должны быть дизъюнктны — в противном случае их выделение лишено смысла. В силу обобщенного критерия сходимости Коши, дизъюнктность уровней может быть обеспечена лишь в том случае, если их множество не более чем счетно, хотя при этом каждый уровень может характеризоваться какой угодно мощностью множества элементов. Следовательно, масштабным уровням любой структуры могут быть приписаны натуральные индексы и, тем самым, на их множестве определено отношение соседства (соседними будем называть уровни, индексы которых различаются на 1). Тогда масштабный уровень структуры (масштаб) можно определить как одну из не более чем счетного множества подструктур, такую, что среди подалгоритмов построения структуры существует хотя бы один, не инвариантный относительно отображения данной подструктуры в (на) любую из двух ей соседних.
Наконец, понятие &ldquo-пространство&rdquo- вполне удовлетворительно определено в общей топологии.
Таким образом, в качестве удовлетворительного определения фрактала будем рассматривать первое из приведенных в данном приложении, но при условии, что его ключевые понятия определены так, как описано выше &rsquo-. В частности, вполне допустима следующая замена: &ldquo-пространство&rdquo- -> &ldquo-числовое поле&rdquo-- &ldquo-отношение подобия&rdquo- &ldquo-операция подстановки на множестве кардинальных чисел&rdquo-- &ldquo-масштаб&rdquo- -> &ldquo-мощность&rdquo-. Произведя такую замену, мы получаем ясные указания на непосредственную связь между теорией фракталов и нестандартным анализом. Эта связь может быть продемонстрирована на примере вводимой ниже конструкции фрактала числовых систем (ФЧС).
Топология нестандартного анализа
Начиная с работ основоположников нестандартного анализа, общепринятым считается мнение, что &ldquo-... нестандартный анализ не претендует на получение принципиально новых результатов: все результаты, полученные его методами, могут быть доказаны и привычными средствами&rdquo- [362, с. 4]. Далее разъясняется, что нестандартный анализ есть не более (но и не менее!) чем логический прием, позволяющий коротко и ясно провести рассуждения, имеющие совершенно &ldquo-неудобоваримый&rdquo- вид (но тем не менее принципиально выполнимые) в обычном анализе. Или же, как выразился в личной беседе с автором настоящих строк один коллега, что &ldquo-за нестандартным анализом не стоит никакая новая топология&rdquo-. Но так ли это? Едва ли.
Необходимо обратить внимание на интересный класс фракталов, удовлетворяющих такому модифицированному определению. Если в качестве структурно- алгоритмического инварианта задать рекуррентное соотношение между индексом уровня структуры и размерностью (топологической или фрактальной) этого уровня, то можно сконструировать бесконечный класс фракталов с переменной размерностью. В частности, можно полагать, что именно к таким конструкциям относится пространственно-временной фрактал ПОЭФС-ТПФ. Об этом свидетельствуют как переход в двумерное пространство при рассмотрении электромагнитного объединения, так и переход в десятимерное пространство при анализе сверхтонких структур спектров (см. соответственно разд. 2.8.3 и Приложение 3 к гл. 3).
Во-первых, не приходится сомневаться в том, что всякая логика есть топология на множестве элементарных высказываний. Соответственно новая логика есть новая топология. Кроме того, в цитированной выше книге В. А. Успенского [362] содержатся примеры, опровергающие его же утверждение о топологической тривиальности нестандартного анализа. Таковы, в частности: а) утверждение о неархимедовости поля гипердействительных чисел- б) содержание всего § 11, в первую очередь введение условия направленности для нестандартных аналогов отношений эквивалентности.
Еще более важные для предмета настоящей монографии примеры топологической нетривиальное™ нестандартного анализа может дать переформулировка определений топологической размерности и размерности Хаусдорфа — Безиковича. Мы вынуждены ввести эти модификации несколько преждевременно, до обсуждения ряда важных свойств ФЧС. Поэтому рекомендуем читателю вернуться к ним, ознакомившись с данным Приложением в целом.
В частности, индуктивная топологическая размерность ind в нестандартной интерпретации будет определена так. Множество Е имеет размерность (п + 1), если оно не является множеством размерности ind < (л + 1), а каждая его точка имеет сколь угодно малую окрестность, пересечение границы которой с множеством Е на уровне (к) ФЧС имеет размерность &lsquo-ind <.пи вместе с тем размерность ind п на уровнях (а > к + 1) структуры ФЧС.
Аналогично нетрудно переформулировать и определение топологической размерности dim, определенной с помощью покрытий.
Замечание. При использовании таких определений излишние (с топологической точки зрения) введение в конструкцию физического пространства неформализуемого элемента — принципа физического актуализма (см. разд. 2.7).
Попытаемся теперь составить представление об алгоритме построения и свойствах ФЧС. Детальное рассмотрение этого вопроса должно составить предмет специального исследования. Здесь же воспользуемся возможностью, так сказать, полукосвенного анализа проблемы, т.е. будем рассматривать не столько свойства самого ФЧС, сколько особенности математики, включающей эту структуру. Прежде всего выясним вопрос о соотношении мощностей последовательных уровней ФЧС. В самом деле, если бы эти мощности оказались одинаковыми, построение ФЧС утратило бы смысл.
Воспользовавшись условием направленности [362] отношений эквивалентности между действительными и гипердейсгвительными числами и распространив его на всю иерархию уровней ФЧС, легко убедиться, что при проецировании каждого данного уровня на соседний низший производится процедура Кантора &ldquo-множество всех подмножеств&rdquo-. Поэтому ясно, что мощность числовых полей, составляющих уровни ФЧС, монотонно возрастает вместе с индексом уровня.
Иерархическая относительность теоретико-множественных понятий
Рассмотрим два фундаментальных понятия: плотность и мощность.
Плотность
Обычно мы считаем, что множество натуральных чисел не является плотным. Упрощенно говоря (но подразумевая очевидный для каждого математика перевод на строгий формальный язык), это значит, что между каждыми двумя соседними натуральными числами хотя и можно вставить по крайней мере одно число, но это вставленное число уже не будет натуральным. Далее, множества рациональных и действительных чисел в стандартном анализе всюду плотны. В нестандартном анализе, однако, утверждение о плотности этих множеств было бы ошибкой. В самом деле, утверждается, что между любыми двумя действительными числами можно вставить еще хотя бы одно число, которое также будет действительным. Это означает только, что никакие два действительных числа не являются соседними. Причем не в общем случае, а в предположении, что любые два действительных числа x,x + dx различаются на ненулевую величину dx. В общем же случае можно, как это делается в нестандартном анализе, приписать величине dx и нулевое значение, так что гипердействительные аналоги действительных чисел х- х + cfx, где dx = О, окажутся соседними на действительном подмножестве гипер- действительной числовой оси. Поэтому упомянутое утверждение отнюдь не означает, что между двумя, упрощенно говоря, соседними действительными числами нельзя вставить сколько угодно чисел, которые уже не будут действительными.
Если перенести идею плотности множеств рациональных и действительных чисел на всю иерархию мощностей числовых систем, то плотным окажется даже множество натуральных чисел. В самом деле, как уже упоминалось, между двумя соседними натуральными числами нельзя вставить ни одного натурального числа, но можно вставить бесконечное множество чисел, принадлежащих любому из следующих вверх по иерархии мощностей числовых полей. То же имеет место и на множестве действительных чисел в нестандартном анализе. Вообще, вполне очевидно, что всякое упорядоченное множество является плотным относительно своих собственных элементов. И вместе с тем, насколько можно судить (но это пока лишь гипотеза), всякое упорядоченное множество неплотно относительно несобственных элементов, т.е. &ldquo-присоединенных&rdquo- из его упорядоченного расширения.
Мощность
При внимательном рассмотрении это понятие оказывается столь же относительным, как и понятие &ldquo-плотность&rdquo-. Так, традиционно всякая бесконечная числовая последовательность полагается счетным множеством. Но это верно лишь до тех пор, пока мы считаем себя обязанными присваивать членам последовательностей только натуральные индексы. Но, собственно, почему только натуральные? В самом деле, если индексировать структурные уровни ФЧС так, как это сделано в настоящем Приложении, то нет никаких препятствий для введения следующего определения. В последовательности элементов уровня (а- а > 2) ФЧС индексами членов являются последовательные (в смысле нестандартного определения соседства, введенного в настоящем Приложении) элементы уровня (а — 1) ФЧС.
При такой постановке вопроса возможны множества (последовательности) любой мощности, элементами которых служат любые (в том числе натуральные или рациональные, если допустить повторы членов) числа. Собственно, в последнем утверждении нет ничего принципиально нового. По сути, оно уже содержится в работе Г. Кантора &ldquo-К обоснованию учения о трансфинитных множествах&rdquo-. Нашей же задачей в данном случае является лишь преломление этой идеи через понятийный аппарат нестандартного анализа при построении ФЧС.
Во всяком случае не будем забывать: как только мы приписываем какому-либо объекту какую-либо измеримую характеристику, мы тем самым подразумеваем наличие шкалы значений этой характеристики. Сказанное в полной мере относится к мощности множеств.
Некоторые математические приложения понятия фрактала числовых систем
Обобщенная континуум-гипотеза
Можно полагать, что обобщенная континуум-гипотеза является прямым следствием существования ФЧС. В самом деле, как уже было упомянуто, всякий фрактал характеризуется наличием не более чем счетного множества структурно-иерархических уровней, т.е. уровней с натуральными индексами, каждые два соседних среди которых отличаются на единицу.
Замечание. Целесообразно низший структурный уровень ФЧС характеризовать высшим индексом. Например, множество действительных чисел будет иметь индекс на единицу выше индекса счетного множества.
Такие индексы уровней ФЧС легко сопоставить индексам кардиналов числовых систем. Таким образом, обобщенная континуум- гипотеза оказывается верной уже по построению ФЧС.
Теория чисел
Каждая из числовых систем, входящих в ФЧС, снабжена умножением и сложением, а также соответственно единичным и нулевым элементами, т.е. является, как минимум, кольцом. Исходный первый уровень структуры представляет собой двухэлементное кольцо, состоящее из нулевого и единичного элементов (если пренебречь несобственным элементом 0). Целесообразность такого построения ясна уже из того, что мощность каждого из уровней ФЧС полностью реализуется на сегменте [0,1]. Таким образом, структура ФЧС сводится к фрактальной структуре сегмента [0,1].
В соответствии с этой методологией представим числовую ось как бесконечную колеблющуюся нить с набором волновых мод таким, что:
а) волновые моды уровня (а + к —1) образуют фиксированные узлы биений на уровне (а + к), каковые узлы и интерпретируются как числа в числовой системе уровня (а + к) в ФЧС-
б) волновые моды всех уровней структуры ФЧС образуют два стабильных узла биений, интерпретируемых как числа 0 и 1- таким образом, на первом уровне структуры ФЧС имеется лишь одна (стоячая) волна с узлами в точках 0 и 1-
в) простые числа представляют собой узлы таких волновых мод, что описывающие их функции не входят в ортонормированную систему функций для Фурье-разложения моды [0, 1].
Очевидно, что такая концепция открывает принципиально новые, и притом единообразные, пути решения ряда теоретико-числовых проблем, связанных с поиском на числовой оси чисел с заданными свойствами.
